背着书包上学的你,走到了丁字路口,这个时候如果左右两边都可以到达学校而且路程相同!

那么聪明的你会走哪一边?

图0:微软面试题:三角尺三个顶点各有一只蚂蚁,问它们不相遇的机率?

简单的概率问题

你会有两种选择:

①向左拐

②向右拐

而且①和②发生的可能性是相等的(假设:左右两边都可以到达学校而且路程相同)

数学中我们称之为等概论事件

我们把一定会发生的事件的可能性(概率)定义为:1,(在这里“左拐或右拐”的概率为:1)

因为此时你只要两种选择:“向左拐”和“向右拐”

所以:

“向左拐”的概率+“向右拐”的概率=1;

又因为:①和②发生的可能性是相等的

所以聪明的你:

“向左拐”的概率=1/2;

“向右拐”的概率=1/2;

图1:微软面试题:三角尺三个顶点各有一只蚂蚁,问它们不相遇的机率?

微软的蚂蚁三角问题

接到微软面试通知的你来面试,

如果面试官问你:“三角尺三个顶点各有一只蚂蚁,问它们不相遇的机率?”

(蚂蚁只能在三角尺的三条边上行走)

图2:微软面试题:三角尺三个顶点各有一只蚂蚁,问它们不相遇的机率?

如何解?

首先,当蚂蚁站在顶点的时候,它只有两种选择:

①逆时针走

②顺时针走

而且,很显然:

①逆时针走的概率=1/2

②顺时针走的概率=1/2

而且,每只蚂蚁的情况是一样的!!!

首先,

如果蚂蚁们走的方向相同:

①都逆时针走

②都顺时针走

(也就是说:都逆时针走或都顺时针走

那么它们就不会相遇!

我们用数学的方法来表示:

不相遇的概率=都逆时针走的概率+都顺时针走的概率

接下来我们求:

都逆时针走的概率?

都顺时针走的概率?

用数学来表示:“或”和“且”

数学中如果我们说:

一个事件发生或另一个事件发生,则:

一个事件发生或另一个事件发生的概率=一个事件发生概率 + 另一个事件发生的概率

一个事件发生且另一个事件发生,则:

一个事件发生且另一个事件发生的概率=一个事件发生概率 × 另一个事件发生的概率

图3:微软面试题:三角尺三个顶点各有一只蚂蚁,问它们不相遇的机率?

升级与进阶

回到蚂蚁三角问题,

很显然:

都逆时针走的概率

=蚂蚁1逆时针走的概率×蚂蚁2逆时针走的概率×蚂蚁3逆时针走的概率

=1/2×1/2×1/2

=1/8

同样:

都顺时针走的概率

=蚂蚁1顺时针走的概率×蚂蚁2顺时针走的概率×蚂蚁3顺时针走的概率

=1/2×1/2×1/2

=1/8

所以,解得:

3只蚂蚁不相遇的概率

= 都逆时针走的概率 + 都顺时针走的概率

=1/8+1/8

=1/4;

图4:微软面试题:三角尺三个顶点各有一只蚂蚁,问它们不相遇的机率?

注意:

这里面如果我们说“一只蚂蚁往哪边走”,就是将“一只蚂蚁往哪边走”的事件看成一个整体,它的概率等于1;

“一只蚂蚁往哪边走”的概率(1)

=“它顺时针走”的概率(1/2)+“它逆时针走”的概率(1/2)

=1

而如果我们说“三只蚂蚁往哪边走”,就是将“三只蚂蚁往哪边走”的事件看成一个整体,它的概率等于1;

“一只蚂蚁往哪边走”的概率(1)

=蚂蚁1顺(1/2)×蚂蚁2顺(1/2)×蚂蚁3顺(1/2)

+蚂蚁1顺(1/2)×蚂蚁2顺(1/2)×蚂蚁3逆(1/2)

+蚂蚁1顺(1/2)×蚂蚁2逆(1/2)×蚂蚁3顺(1/2)

+蚂蚁1顺(1/2)×蚂蚁2逆1/2)×蚂蚁3逆(1/2)

+蚂蚁1逆(1/2)×蚂蚁2顺(1/2)×蚂蚁3顺(1/2)

+蚂蚁1逆(1/2)×蚂蚁2顺(1/2)×蚂蚁3逆(1/2)

+蚂蚁1逆(1/2)×蚂蚁2逆(1/2)×蚂蚁3顺(1/2)

+蚂蚁1逆(1/2)×蚂蚁2逆1/2)×蚂蚁3逆(1/2)

=1

图5:微软面试题:三角尺三个顶点各有一只蚂蚁,问它们不相遇的机率?

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